Функциональный анализ и элементы математической физики

Читается c 7-ого по 9-ый семестр.
7,8-й семестры по 4 часа лекций в неделю, 9-й семестр по 2 часа лекций в неделю

экзамен

Курс функционального анализа читается в течение 3-х семестров (7—9) и содержит как традиционный материал по основам функционального и вещественного анализа, так и приложения в области линейных и нелинейных задач математической физики. Часть лекций (с номерами, помеченными литерами) посвящены рассмотрению примеров, а также развитию и углублению теоретического материала. В качестве домашнего задания студентам даются задачи средней сложности, непосредственно связанные с материалами каждого семинара. Решения задач студенты защищают перед лектором в устной форме. В 7—8 семестрах изучается теория меры и интеграл Лебега; свойства метрических, топологических, нормированных (в основном банаховых), гильбертовых и векторных топологических пространств. Достаточно подробно изучаются свойства линейных операторов в банаховых и гильбертовых пространствах (в т. ч. элементы спектральной теории), излагаются элементы теории двойственности банаховых и векторных топологических пространств. Изучаются пространства Лебега, Соболева, функций ограниченной вариации и их приложения к задачам математической физики. В 9 семестре продолжается изучение геометрических и топологических свойств банаховых пространств, а также излагаются идеи и методы нелинейного функционального анализа. Прежде всего, исследуются такие свойства нелинейных отображений, как дифференцируемость по Гато и по Фреше, непрерывность, компактность, вполне непрерывность и полная непрерывность. Вводится важное понятие оператора Немыцкого и теорема М. А. Красносельского. Затем рассматриваются различные вариационные методы, такие, как метод Люстерника—Шнирельмана в сочетании с принципом компактности Пале-Смейла, затем метод глобального расслоения С. И. Похожаева, метод рода множества М. А. Красносельского в сочетании с методом, основанном на теореме о горном перевале. После рассматриваются такие методы, как метод компактности, монотонности и теорем о неподвижной точке. В конце курса рассматриваются основные методы доказательства разрушения решений начальных и начально-краевых задач для уравнений в частных производных.

Литература:

Основная.

Арсеньев А. А. Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Ижевск: РХД, 2011.
Струве М. Вариационные методы. Приложения к нелинейным уравнениям в частных производных и гамильтоновым системам. М.: УРСС, 2011.

Дополнительная.

Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. Т.1-3. М.:Издательство иностранной литературы. 1962-1974.
Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1-4. М., Мир, 1977-1982.
В.И.Богачёв. Основы теории меры. Тома 1-2. Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика». Москва-Ижевск, 2003г.
С.С.Кутателадзе. Основы функционального анализа. Издательство «Наука», Сибирское отделение. 1983г.
П.Халмош. Гильбертово пространство в задачах. ИО НФМИ. 2000г.
К.Иосида. Функциональный анализ. Издательство «Мир», 1967г.
А.Я. Хелемский. Лекции по функциональному анализу. МЦНМОБ 2004г.
В.М. Федоров. Курс функционального анализа. «Лань». 2005г.
Шилов Г.Е., Гуревич Б.Л. Интеграл мера, производная. М.: Наука, 1964.
Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: , Наука, 1977.
Канторович Л.В, Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.
Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М.: Наука, 1982.
Владимиров В.С. Обобщённые функции в математической физике. М.: Наука, 1976
П.Н.Князев. Фукциональный анализ. УРРС, 2003г
Ж.Дьедоне. Основы современного анализа. Москва. Мир. 1964г.
А.А.Кирилов. Теоремы и задачи функционального анализа. Москва. «Наука». 1988г
В.А.Треногин, Б.М.Писаревский, Т.С.Соболева. Задачи и упражнения по функциональному анализу. Москва. «Наука».1984г.
В.А.Треногин. Функциональный анализ. Москва. «Наука». 1993г.
У.Рудин. Функциональный анализ. Издательство «Лань», 2005г.

7 семестр:

8 семестр:

Второй том курса лекций "Линейный и нелинейный функциональный анализ"

Лекции М. О. Корпусова и А. А. Панина

Семинары Панина А.А.:

Вопросы к экзамену:

Вопросы к экзамену

9 семестр:

Лекции М. О. Корпусова

Третий том курса лекций "Линейный и нелинейный функциональный анализ"

Линейный и нелинейный функциональный анализ