Интегральные уравнения и вариационное исчисление

Теория линейных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра и основные понятия вариационного исчисления.

Читается в 4-м семестре.
2 часа лекций в неделю, семинарские занятия

• Голубцов Петр Викторович , профессор
• Минаев Дмитрий Валерьевич , ст. преподаватель

1. Классификация линейных интегральных уравнений. Уравнения Фредгольма и Вольтерра первого и второго рода. Примеры физических задач, приводящих к интегральным уравнениям.
2. Линейные операторы в бесконечномерном евклидовом пространстве. Вполне непрерывный оператор. Теорема существования собственного значения и собственного вектора у симметричного вполне непрерывного оператора. Построение последовательности собственных значений и собственных векторов.
3. Однородное уравнение Фредгольма второго рода. Существование собственных значений и собственных функций у интегрального оператора с симметричным ядром. Вырожденные ядра. Теорема Гильберта-Шмидта.
4. Краевая задача на собственные значения и собственные функции (задача Штурма- Лиувилля). Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля. Теорема Стеклова.
5. Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода. Принцип сжимающих отображений. Уравнение Фредгольма с "малым". Уравнение Фредгольма с вырожденным и невырожденным ядром. Теоремы Фредгольма.
6. Уравнение Вольтерра. Метод последовательных приближений.
7. Понятие функционала. Первая вариация функционала. Необходимое условие экстремума.
8. Вариационная задача с закрепленными границами. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
9. Поле экстремалей, функция Вейерштрасса, достаточные условия экстремума.
10. Задачи на условный экстремум. Изопериметрическая задача и задача Лагранжа (постановки задач, необходимое условие экстремума).
11. Задача с подвижной границей, условие трансверсальности, необходимое условие экстремума.
12. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах. Уравнение Фредгольма первого рода как пример некорректно поставленной задачи. Метод А.Н. Тихонова регуляризации решения уравнения Фредгольма первого рода.

Видеозаписи курса лекций А.Г. Яголы (YouTube, Teach-in)

Видеозаписи курса лекций А.А. Панина (YouTube, Teach-in)

Видеозаписи курса лекций Д.В. Лукьяненко (YouTube, Teach-in)

Лекции

Предисловие

Глава 1. Интегральные уравнения

• Лекция 1 (§1.Введение. §2.Метрические, нормированные и евклидовы пространства.)
• Лекция 2 (§3.Элементы теории линейных операторов.)
• Лекция 3 (§4.Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора. §5.Построение последовательности собственных значений и собственных векторов вполне непрерывного самосопряженного оператора.)
• Лекция 4 (§6.Характеристические числа и собственные функции оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром.)
• Лекция 5 (§7.Теорема Гильберта-Шмидта. §8.Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода с симметрическим непрерывным ядром.)
• Лекция 6 (§9.Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке. §10.Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода с "малым". §11.Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода.)
• Лекция 7 (§12.Уравнения Фредгольма с вырожденными ядрами. Теоремы Фредгольма. §13.Уравнение Фредгольма 2-го рода с произвольным непрерывным ядром. Теоремы Фредгольма.)
• Лекция 8 (§14.Задача Штурма-Лиувилля.)

Глава 2. Вариационное исчисление

• Лекция 9 (§1.Введение. §2.Понятие вариации функционала. §3.Задача с закрепленными концами. Необходимое условие экстремума.)
• Лекция 10 (§4.Задачи на условный экстремум.)
• Лекция 11 (§5.Задачи с подвижной границей.)
• Лекция 12 (§6.Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами.)

Глава 3. Понятие о методах регуляризации решения некорректно поставленных задач

• Лекции 13-14

Литература

Пособие по решению задач

• Тема 1 Метрические, нормированные и евклидовы пространства.
• Тема 2 Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор.
• Тема 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.
• Тема 4 Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений для уравнений Фредгольма 2-го рода с "малым" .
• Тема 5 Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода.
• Тема 6 Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода. Уравнения Фредгольма с вырожденными ядрами. Теоремы Фредгольма.
• Тема 7 Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.
• Тема 8 Основные понятия вариационного исчисления. Задача с закрепленными концами.
• Тема 9 Задачи с подвижной границей. Условие трансверсальности.
• Тема 10 Условный экстремум. Задача Лагранжа. Изопериметрические задачи.

Правила проведения экзамена и вопросы к экзамену