Доклад посвящён новым квадратурным формулам для потенциалов простого и
двойного слоя. Получение более точных выражений для таких потенциалов имеет
большое значения для решения краевых задач математической физики методом
граничных интегральных уравнений. Одно из главных преимуществ этого метода состоит
в понижении размерности решаемой задачи на единицу. В определённых случаях это
оказывает решающее влияние на стоимость вычислений и, как следствие, на
оправданность применяемого метода.
Докладчиком создана квадратурная формула для потенциала простого слоя с
гладкой плотностью, обеспечивающая равномерную аппроксимацию потенциала вблизи
поверхности и сохраняющая свойство непрерывности потенциала при переходе через
границу поверхности. При помощи общего подхода в работе созданы новые
квадратурные формулы для потенциала двойного слоя, для его прямого значения, а также
прямого значения нормальной производной потенциала простого слоя.
Предложенные в работе квадратурные формулы дают более высокую точность
при вычислении потенциалов вблизи поверхности, чем стандартные формулы,
используемые в прикладных расчётах, что подтверждается численными тестами.
Полученные формулы позволяют проводить новый анализ численных решений краевых
задач для уравнений Лапласа и Гельмгольца методом граничных интегральных
уравнений. Представленное в работе решение краевых задач для уравнения Лапласа
вблизи поверхности - внешней задачи Неймана и внутренней задачи Дирихле при помощи
полученных квадратурных формул показывает практическую эффективность
разработанного метода.