РУС/ENG
Кафедра математики
физического факультета МГУ

18 января 2017. Доклады. М. В. Клибанов: «Безфазовая обратная задача рассеяния и глобальная сходимость» и «Глобальная сходимость для обратных задач с помощью функции Карлемана»

Дата публикации
18.01.2017 14:50

Доклад проф. М.В. Клибанова (отделение математики и статистики, университет Северной Каролины в Шарлотте, США) состоится в 18:00 в большом конференц-зале (3-ий этаж) Научно-исследовательского вычислительного центра МГУ

Аннотация

Безфазовая обратная задача рассеяния естественно возникает при оптическом имаджинге наноструктур, поскольку на таких высоких частотах нескольких миллионов гегагерц можно измерять интенсивность сигнала, но невозможно измерять его фазу. В последние несколько лет докладчик совместно с член-корреспондентом РАН В.Г. Романовым получил ряд результатов, которые позволяют решать эту задачу численно.

Кроме того, оказалось, что эта задача тесно связана с численными методами решения одной коэффициентной обратной задачи для уравнения Гельмгольца, то есть волнового уравнения в частотной области. Докладчику, совместно с А. Е. Колесовым, Д.-Л. Нгуеном, Л.Х. Нгуеном, Х. Лиу (постдоки) и М.А Фидди (профессор физики, экспериментальные данные) удалось разработать и проверить численно два типа глобально сходящихся численных методов для этой задачи. Тестирование проводилось как на синтетических, так и на экспериментальных микроволновых данных. Результаты показывают хорошую точность при наличии серьёзного шума.

Один из двух типов методов основан на построении глобально сильно выпуклого весового функционала Тихонова, где в качестве веса используется функция Карлемана. То есть функция, участвующая в Карлемановской оценке для соответствующего дифференциального оператора.

Докладчик всегда рассматривал и рассматривает коэффициентные обратные задачи с единственным измерением. Они сильно нелинейны. В случае этих задач единственной альтернативой глобально сходящимся методам является метод наименьших квадратов (мнк). Однако хорошо известно, что его неустранимым недостатком является невыпуклость функционала невязки, что неизбежно ведёт к проблеме локальных минимумов, которая не разрешима в рамках мнк.

Также, докладчику, совместно с А.Б. Бакушинским и Н.А. Кошевым, удалось разработать и проверить численно единый глобально сходящийся численный метод для некорректных задач Коши для широкого класса квазилинейных уравнений с частными производными второго порядка: гиперболических, параболических и эллиптических. Ранее некорректные задачи Коши рассматривались только для линейных уравнений.

каф. математики