РУС/ENG
Кафедра математики
физического факультета МГУ

12 мая 2021 г., доклад Клибанова М.В. Применение карлемановских оценок к глобально сходящимся численным методам для коэффициентных обратных задач

Дата публикации
06.05.2021 10:
Аннотация

 Метод наименьших квадратов для численного решения коэффициентных обратных задач неустойчив из за хорошо известной проблемы локальных  минимумов функционалов невязки. Только заранее известное хорошее первое приближение может сделать его устойчивым. Однако предположение о наличии такого приближения не реалистично  в практических ситуациях.
      В докладе будет представлен принципиально новый подход к численному решению коэффициентных обратных задач, развиваемый докладчиком и его научной группой примерно с 2017, хотя первая публикация докладчика была в 1995. Этот метод назван "конвексификация" (convexification). Он позволяет строить сильно выпуклые функционалы невязки на множествах любого диаметра в подходящих пространствах Соболева. Ключевой элемент такого функционала - присутствие в нём так называемой Весовой Функции Карлемана, которая напрямую связана с Карлемановской оценкой для соответствующего дифференциального оператора. Впервые Карлемановские оценки были введены в теорию  коэффициентных обратных задач в работе А.Л. Бухгейма и  М.В. Клибанова, опубликованной в ДАН СССР в 1981 году. Однако цель той работы было доказательство глобальных теорем единственности многомерных коэффициентных обратных задач. И только начиная с 1995 докладчику удалось приспособить ту идею для конвексификации. 
     Метод конвексификации применим для широкого класса коэффициентных обратных задач для многих уравнений с частными производными. В докладе соответствующие результаты будут освещены. Будут даны примеры работы этого метода на экспериментальных данных. Данные были получены в лаборатории докладчика. 

 

В частности, удалось построить метод конвексификации для хорошо известной обратной кинематической задачи сейсмики, поставленной ещё в 1905 году Герглотцем. Хотя численных результатов для полной нелинейной задачи пока нет, будет приведён такой результат для линеаризованной постановки, отмеченной на странице 90 известной книги В.Г. Романова "Обратные задачи математической физики", Москва, Наука, 1984.

каф. математики