Кафедра математики
физического факультета МГУ
Д.ф.-м.н., проф. А. Н. Боголюбов
Одной из научных групп кафедры математики является группа, занимающаяся математическим моделированием широкого класса волноведущих систем, а также систем сверхвысокочастотной электродинамики. Руководителем группы является крупнейший специалист в области вычислительной электродинамики и математической физики доктор физико-математических наук, лауреат Ломоносовской премии МГУ, профессор А.Н. Боголюбов, професор А.А. Быков, кандидаты физико-математических наук: Н.А. Боголюбов, А.И. Ерохин, Д.А. Коняев, Д.В. Минаев, И.Е. Могилевский, Ю.В. Мухартова, Н.Е. Шапкина, ведущий программисты: А.А. Петухов, Ф.Б. Хлебников.
Под волноведущей системой обычно понимают либо специальное устройство – волновод, либо канал в неоднородной среде, по которому могут распространяться волны различной природы: акустические (в акустических волноводах), электромагнитные (в радиоволноводах, световодах), сейсмические и т. п. Благодаря фундаментальным работам А.Н. Тихонова, А.А. Самарского, В.Г. Кисунько, П.Е. Краснушкина, А.Г. Свешникова и ряда других ученых высокочастотная электродинамика волноведущих систем из чисто технической области радиофизики превратилась в строгую математическую теорию, определяющую новое научное направление в математической физике и математическом моделировании – математическая теория волноведущих систем. Разработанная на основе этой теории методика позволяет построить алгоритмы для расчета волноведущих систем со сложным неоднородным и анизотропным заполнением, в частности, гиромагнитным, киральным, а также фрактальным.
Изучение нерегулярных волноводов, то есть волноводов, содержащих различные включения или волноводов изогнутой формы, потребовало разработки специальных математических методов. Одним из таких методов является предложенный А. Г. Свешниковым в начале 60-х годов неполный метод Галеркина, дающий возможность достаточно точно и математически обоснованно моделировать многие электродинамические структуры. В развитие, обоснование и реализацию неполного метода Галеркина для исследования широкого круга задач о распространении колебаний в различных волноведущих системах внесли вклад профессора нашей кафедры А.А.Быков, В.П. Моденов, доцент В.В.Кравцов и их многочисленные ученики.
Крайне важным направлением научной работы группы является глубокое теоретическое исследование операторов математических моделей систем и устройств электродинамики с помощью методов функционального анализа. Замечательные результаты в этой области получены профессорами А.А. Быковым и А.Л. Делицыным, старшим научным сотрудником Ю.В. Мухартовой и их учениками. В частности, одной из весьма важных и сложных задач, требующих глубокого математического изучения, является задача о расчете электромагнитного поля в волноведущих системах при наличии ребер на их границах. Подобные задачи возникают при расчете металлических радиоволноводов, полосковых линий, систем интегральной и волоконной оптики. В нашей научной группе развита методика исследования поведения электромагнитного поля вблизи ребристых участков границы волновода. Ряд важных результатов в этой области получен доцентом И.Е. Могилевским и его учениками.
Не менее интересные и важные результаты получены в области построения новых математических моделей расчета электродинамических систем, а также в области разработки численных методов их исследования. В качестве примера приведем построенную профессором А.А. Делицыном принципиально новую модель волноведущих систем, а также два новых варианта метода прогонки для решения систем уравнений с трехдиагональной матрицей: разработанный профессором А.Н. Боголюбовым совместно с В.И. Телегиным метод немонотонной прогонки, а также разработанный профессором А.А. Быковым метод прогонки с ортогонализацией.
За последние годы произошло существенное расширение класса волноведущих систем. Большое распространение получили микроминиатюрные интегральные схемы на основе планарных и волоконных световодов, оптические датчики, диэлектрические и металлодиэлектрические волноводы нерегулярной геометрии и с неоднородным заполнением и различные системы и устройства на их основе. Огромные возможности в плане создания эффективных численных методов для расчета таких систем дает метод конечных разностей в прямой и вариационной постановках (метод конечных элементов), основополагающими работами в области которого являются работы А. Н. Тихонова и А. А. Самарского. На основе этого метода А. Г. Свешниковым, А. Н. Боголюбовым и их учениками выполнен большой цикл работ по решению задач математического моделирования широкого круга устройств высокочастотной электродинамики, волоконной и интегральной оптики.
Наряду с задачами расчета характеристик волноведущих систем (задачами анализа) решались задачи их синтеза, то есть задачи математического проектирования для определения основных характеристик синтезируемого устройства, при которых оно обладает заданными физическими свойствами и отвечает требуемым техническим характеристикам. Задачи синтеза принадлежат к классу обратных задач. Наиболее полный и универсальный подход к решению задач синтеза волноведущих систем предложен в работах А.Г. Свешникова и А.С. Ильинского.
Разработанные методы исследования волноведущих систем позволяют рассматривать более сложные системы, в частности, системы с гиротропным (киральным) заполнением. Отсутствие зеркальной симметрии называется киральностью. В категорию киральных попадают многие объекты, как природные, так и искусственные. Примерами могут служить молекулы сахаров, аминокислот, ДНК и органических полимеров, проволочная спираль, лист Мёбиуса. Также одним из интереснейших направлений деятельности нашей группы является математическое моделирование фотонных кристаллов и волноведущих систем на их основе. В определенном спектральном диапазоне свет любой поляризации не может распространяться в фотонном кристалле ни в ОДНОМ направлении. Это и есть уникальное свойство фотонного кристалла, с которым принято связывать возможные революционные события в технике оптической связи, физике лазеров и оптической компьютерной технологии. Также весьма перспективным направлением является исследование волноведущих систем с фрактальной структурой.
Одним из важных направлений является разработка методов электромагнитной маскировки. Также в этой области ведутся работы по моделированию компактных полигонов - специальных измерительных комплексов, позволяющих проводить физическое моделирование процессов рассеяния и излучения электромагнитных волн. Эта работа проводится в рамках научного сотрудничества с ИТПЭ РАН в области создания летательных аппаратов 5-ого поколения (Н.Е. Шапкина, Д.А. Коняев, Ф.Б. Хлебников.) В этой области успешно работает большая группа студентов и аспирантов кафедры.
Члены научной группы, включая студентов и аспирантов, принимают активное участие в работе международных конференций и школ, в работе семинаров кафедры и научного семинара «Математическое моделирование в естественных науках» под руководством проф. А.Н. Боголюбова, а также в работе научного семинара Отделения прикладной математики. Члены группы также имеют научные контакты и совместные работы со многими институтами и вузами. Среди них можно назвать Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша, Институт теоретической и прикладной электродинамики РАН, Институт радиотехники и электроники РАН имени В.А. Котельникова, Российский университет дружбы народов, а также ряд других.
Наша научная группа традиционно очень много внимания уделяет работе со студентами, причем начиная с младших курсов. На втором курсе по тематике группы выполняются в среднем 5-6 курсовых работ, как правило, эти студенты потом успешно проходят конкурсный отбор и распределяются на кафедру. Студенты и аспиранты активно участвуют в научной работе группы, выступают с докладами на научных семинарах, а также на всероссийских и международных конференциях. Каждый год в нашей научной группе защищались 4-5 дипломных работ.
Контакты: Боголюбов Александр Николаевич (bogan7@yandex.ru), Могилевский Илья Ефимович (mogilev@mail.ru).
