Кафедра математики
физического факультета МГУ
20.03.
Разобрать теоретический материал:
1) Обобщенные решения квазилинейного уравнения переноса на примере уравнения Ван-Хопфа. Сильные и слабые разрывы.
2) Дивергентные формы и соответствие им законов сохранения на примере уравнения Ван-Хопфа.
3) Условие на разрыве на примере уравнения Ван-Хопфа.
Подготовить письменные ответы на следующие вопросы:
1) Постановка задачи для квазилинейного уравнения переноса (задача Коши и начально-краевая задача в первом квадранте).
2) Построить характеристики для квазилинейного уравнения u_t + exp(u) u_x = 0.
3) Могут ли характеристики квазилинейного уравнения переноса пересекаться? Изобразить решение, соответствующее пересечению трех характеристик.
4) Явление опрокидывания волн. Как обеспечить однозначность решения?
5) Условие на разрыве. Можно ли написать его для недивергентной формы уравнения?
8.04.
Разобрать теоретический материал:
1) Основные понятия теории разностных схем.
2) Схемы бегущего счета для линейного и квазилинейного уравнения переноса.
Подготовить письменные ответы на следующие вопросы:
1) Определения аппроксимации, сходимости, устойчивости разностной схемы.
2) Спектральный критерий устойчивости (метод гармоник).
3) Теорема о сходимости для линейных разностных схем.
4) Определение монотонности разностной схемы.
5) Схемы бегущего счета для линейного уравнения переноса. Алгоритм расчета (на примере неявной схемы "верхний уголок").
22.04.
Теоретический материал
1. Решение одномерного уравнения теплопроводности: явная схема, чисто неявная схема, схема с полусуммой. Их свойства (аппроксимация, устойчивость), алгоритм расчета. Метод прогонки (решение трехдиагональной СЛАУ).
2. Решение двумерного уравнения теплопроводности. Схема переменных направлений (Письмена-Рэкфорда). Ее свойства (аппроксимация, устойчивость), алгоритм расчета.
Опрос
1. Определение консервативной разностной схемы. Является ли чисто неявная схема для уравнения теплопроводности консервативной? (Сетку считать равномерной, коэффициент теплопроводности -- постоянным).
2. Описать алгоритм расчета одномерного уравнения теплопроводности по чисто неявной схеме.
3. Можно ли решать двумерное уравнение теплопроводности по чисто неявной схеме? Какие трудности при этом возникают? (Подсказка: рассмотреть сеточную функцию, определенную на сетке NxM узлов как вектор длины NM).
4. Описать алгоритм расчета одномерного уравнения теплопроводности по схеме переменных направлений.
5. Можно ли обобщить схему переменных направлений на трехмерный случай? Ответ обосновать.
Выполнить второе практическое задание.
13.05
Теоретический материал
Асимптотические методы.
Опрос
1. Для какого класса задач целесообразно применять асимптотические методы? Что такое асимптотическая формула? Может ли она обеспечить произвольную наперед заданную точность?
2. Какая задача называется регулярно возмущенной? Асимптотическая формула для регулярно возмущенной задачи.
3. Теорема Тихонова о сходимости асимптотической формулы.
4. Какая задача называется сингулярно возмущенной? Асимптотическая формула для сингулярно возмущенной задачи.
5. Теорема Васильевой о сходимости асимптотической формулы.
