A. G. Yagola lectures

Лекция 1. Интегральные уравнения. Метрические, нормированные и евклидовы пространства.:

• Лекция 1. Интегральные уравнения. Метрические, нормированные и евклидовы пространства.
  
  • Глава 1. Интегральные уравнения. §1 Введение
  • §2 Метрические, нормированные и евклидовы пространства
  • Нормированное пространство
• Лекция 2. Элементы теории линейных операторов
  
  • Евклидово пространство
  • §3 Элементы теории линейных операторов
  • Собственное значение линейного оператора
  • Непрерывный оператор
  • Норма линейного оператора
  • Теорема, связывающая понятия ограниченности и непрерывности линейного оператора
  • Ограниченная последовательность
• Лекция 3. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряжённого оператора
  
  • Компактность последовательности
  • Вполне непрерывный оператор
  • Теорема об операторе Фредгольма
  • Сопряжённый оператор
  • §4 Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора
• Лекция 4. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром
  
  • Теорема о ненулевом собственном значении оператора Фредгольма
  • §5 Построение последовательности собственных значений и собственных векторов вполне непрерывного самосопряженного оператора
  • Свойства ортогонального дополнения
  • Теорема о собственных векторах самосопряженного оператора
  • §6 Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром
  • Теорема о принадлежности вектора нуль-пространству самосопряженного оператора
  • Построение последовательности ядер
• Лекция 5. Интегральный оператор с вырожденным ядром. Теорема Гильберта-Шмидта
  
  • Вырожденное ядро
  • Теорема о собственных значениях интегрального оператора с непрерывным симметрическим вещественным ядром
  • Примеры
  • §7 Теорема Гильберта-Шмидта
  • n - мерный случай
  • §8 Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода с симметрическим непрерывным ядром
• Лекция 6. Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода с симметрически непрерывным ядром
  
  • §8 Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода с симметрическим непрерывным ядром
  • Резольвента
  • Теорема о решении неоднородного уравнения в случае, если однородное уравнение Фредгольма имеет только тривиальное решение
  • §9 Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке
  • Теорема (признак Вейерштрасса сходимости ряда)
  • §10 Уравнения Фредгольма 2-го рода с «малыми» λ
• Лекция 7. Уравнения Вольтерра 2-го рода. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами
  
  • Метод последовательных приближений
  • Вопросы корректности математической постановки задачи решения уравнения Фредгольма для «малых» λ
  • §11 Уравнения Вольтерра 2-го рода
  • §12 Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами
  • Теорема о решении уравнения Фредгольма в случае, если λ не является характеристическим числом
• Лекция 8. Уравнение Фредгольма 2-го рода с произвольными непрерывными ядрами. Теоремы Фредгольма
  
  • Повторение конца предыдущей лекции
  • Сопряженное (союзное) интегральное уравнение
  • Теорема о разложении пространства Rn
  • §13 Уравнение Фредгольма 2-го рода с произвольными непрерывными ядрами. Теоремы Фредгольма
  • Четыре теоремы Фредгольма
  • §14 Задача Штурма-Лиувилля
• Лекция 9. Задача Штурма-Лиувилля. Теорема Стеклова
  
  • Продолжение решения начально-краевой задачи для уравнения, описывающего малые поперечные колебания струны
  • Задача Штурма-Лиувилля в общей постановке
  • Теорема о кратности собственных значений задачи Штурма-Лиувилля
  • Теорема о собственных функциях задачи Штурма-Лиувилля
  • Теорема о собственных значениях задачи Штурма-Лиувилля
  • Теорема Стеклова
• Лекция 10. Вариационное исчисление. Понятие функционала. Задача с закреплёнными концами
  
  • Глава 2. Вариационное исчисление §1 Введение
  • §2 Понятие функционала. Вариация функционала
  • Определение вариации
  • Теорема о необходимом условии экстремума
  • §3 Задача с закреплёнными концами. Необходимое условие экстремума
  • Основная лемма вариационного исчисления и примеры её использования
• Лекция 11. Задачи на условный экстремум. Необходимое условие экстремума
  
  • Задача из механики: получение уравнения движения из вариационных принципов
  • §4 Задачи на условный экстремум
  • Изопериметрическая задача
  • Теорема о необходимом условии экстремума для изопериметрической задачи с закрепленными концами
  • §5 Задачи с подвижной границей
• Лекция 12. Достаточные условия экстремума в задаче с закреплёнными концами
  
  • Варьирование функционала. Условие трансверсальности
  • §6 Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами
  • Экстремаль. Поле экстремалей
  • Достаточное условие сильного (слабого) минимума
  • Условие Лежандра
• Лекция 13. Некорректно поставленные задачи. Метод регуляризации Тихонова
  
  • Глава 3 Понятие о методах регуляризации решения некорректно поставленных задач §1 Интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода
  • §2 Метод регуляризации А. Н. Тихонова
  • Классификация математических задач
  • Функционал Тихонова. Первая теорема А.Н. Тихонова
• Лекция 14. Вторая теорема Тихонова
  
  • Существование и единственность решения второй краевой задачи для уравнения Эйлера
  • Лемма о равномерной ограниченности и равностепенной непрерывности множества функций
  • Следствие леммы
  • Вторая теорема А. Н. Тихонова