РУС/ENG
Кафедра математики
физического факультета МГУ
Архив: 2016 - 2017

Нелинейные эллиптические и параболические уравнения математической физики

Данный курс лекций содержит современное изложение теории нелинейных уравнений эллиптического и параболического типов второго порядка
в частных производных. Изложение в известном смысле замкнутое - все необходимые сведения из курса нелинейного функционального анализа
даются в достаточно полной форме. Целью данного специального курса для аспирантов отделения прикладной математики является на примере
модельных нелинейных уравнений эллиптического и параболического типов математической физики рассмотреть методы исследования классических и слабых решений этих уравнений.

Лекторы
Отчётность
зачет или экзамен
Содержание курса

Специальный курс состоит из 10 тематических лекций. В первой тематической лекции мы привели вывод основных для нас уравнений следующего вида
$$
diver(|D_xu|^{p-2}D_xu)=f(x,u),
$$
$$
frac{partial u}{partial t}=Delta u+f(x,u),quad
frac{partial u}{partial t}=Delta u^m,quad
frac{partial u}{partial t}=Delta_pu+f(x,u).
$$
Во второй тематической лекции рассматриваются пространства С. Л. Соболева, необходимые для изучения
слабых решений нелинейных уравнений эллиптического типа. В третьей тематической лекции изучается важный вопрос о следах
функций из пространств С. Л. Соболева на многообразиях меньшей размерности. В четвертой тематической лекции рассматриваются
необходимые сведения из курса нелинейного функционального анализа. В пятой тематической лекции мы вводим понятие оператора Немыцкого
и важную теорему М. А. Красносельского о непрерывности оператора Немыцкого. Далее излагаются основные методы исследования полулинейных
эллиптических уравнений. В шестой тематической лекции мы изучаем нелинейный оператор p--лапласиана
$$
Delta_pustackrel{def:}=diver(|D_xu|^{p-2}D_xu),quad p>1.
$$
Кроме того, рассмотрены основные методы исследования нелинейных эллиптических уравнений с главным оператором $p$--лапласиана.
В седьмой тематической лекции мы рассматриваем необходимые сведения о нестационарных пространствах С. Л. Соболева $L^q(0,T;W^{1,p}(Omega)),$
$L^{q^{'}}(0,T; W^{-1,p^{'}}(Omega)),$ а также о параболических пространствах Гельдера $mathbb{C}^{2+alpha,1+alpha/2}(D)$ и об анизотропных пространствах С. Л. Соболева.
В восьмой тематической лекции рассматриваются основные методы исследования нелинейных параболических уравнений. В девятой тематической лекции мы рассматриваем
принципы максимума для слабых решений линейных и нелинейных уравнений эллиптического и параболического типов. Наконец, в десятой тематической лекции мы изучаем слабые решения
задачи Коши для вырождающегося уравнения параболического типа
$$
frac{partial u}{partial t}=Delta u^m,quad m>1.
$$

 

Основная литература

1. Крылов Н. В. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в пространствах Гельдера. Новосибирск: Научная книга, 1998, 178 с.

2. Крылов Н. В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. Москва: Наука, 1985, 376 с.

3. Ландис Е. М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. Москва: Наука, 1971, 288 с.

4. Нефедов Н. Н. Дополнительные главы к курсу Методы математической физики. "Нелинейные эллиптические уравнения. Метод дифференциальных неравенств.".
Москва: Изд-во физического факультета МГУ, 1998.

5. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для
квазилинейных параболических уравнений. Москва: Наука, 1987, 480 с.


6. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. Москва: Мир, 1968, 428 с.

7. Krylov N. V. Lectures on Elliptic and Parabolic Equations in Sobolev Spaces. Graduate Studies
in Mathematics Volume 96 American Mathematical Society. 2000, 374 pp.

8. Patrizia Pucci, James Serrin The Maximum Principle. Birkhauser, Basel-Boston-Berlin. Progress in Nonlinear Differential Equations
and Their Applications. Volume 73. 2007, 240 pp.

9. Vicentiu D. Radulescu Qualitative Analysis of Nonlinear Elliptic
Partial Differential Equations: Monotonicity, Analytic, and Variational Methods. Hindawi Publishing Corporation. 2008, 205 pp.

10. Vazquez J. L. The porous medium equation. Mathematical theory. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 2007, 624 pp.

11. Zhuoqun Wu, Jingxue Yin, Chunpeng Wang Elliptic and Parabolic Equations. World Scientific. 2006, 425 pp.

Материалы по курсу