Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений

Изучаются аналитические методы исследования сингулярно возмущенных задач. В первой части курса рассматриваются задачи с пограничными и внутренними слоями (как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений с частными производными), для которых развиваются методы построения асимптотических разложений решения. Вторая часть курса посвящена изучению основ метода осреднения на примере систем в стандартной форме и систем с быстрой фазой.

Читается в 10-ом семестре.
3 часа лекций в неделю

• Нефёдов Николай Николаевич
• Медведев Герман Николаевич

Часть 1. Методы исследования решений с внутренними и пограничными слоями

1. Основные понятия. Регулярные и сингулярные возмущения. Асимптотическое приближение по параметру. Сходящиеся и асимптотические ряды. Формальная асимптотика – асимптотика по невязке.
2. Сингулярно возмущенные начальные задачи для ОДУ. Теорема Тихонова. Метод пограничных функций. Теорема Чаплыгина и асимптотический метод дифференциальных неравенств. Сингулярно возмущенные задачи в случае смены устойчивости. Сингулярно возмущенные задачи в критическом случае. Применение асимптотических методов в задачах химической кинетики.
3. Сингулярно возмущенные краевые задачи для ОДУ. Краевые задачи Неймана и Дирихле. Теоремы Нагумо и асимптотический метод дифференциальных неравенств.
4. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения с частными производными. Метод Вишика – Люстерника. Метод угловых пограничных функций.
5. Асимптотическая теория контрастных структур. Построение асимптотических приближений решений с внутренними и пограничными слоями – контрастных структур для ОДУ и уравнений с частными производными. Доказательство существования и вопросы устойчивости контрастных структур.

Литература:

1. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теоpии сингуляpных возмущений. М.: Высшая школа. 1990. 208 с.
2. А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, Н.Н. Нефедов, Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах, Фундамент. и прикл. матем. 4, 799 (1998).

Часть 2. Метод осреднения

1. Системы в стандартной форме по Н.Н. Боголюбову. Редукция квазилинейного уравнения колебаний к системе в стандартной форме. Стационарные амплитуды и их устойчивость. Алгоритм построения асимптотического решения. Определение коэффициентов. Способы вычисления средних значений. Первая теорема Н.Н. Боголюбова. Стационарные амплитуды и автоколебательные режимы. Исследование устойчивости автоколебательных режимов. Формулировка второй теоремы Н.Н. Боголюбова. Системы с медленным временем и редукция таких систем к системе с быстрой фазой.
2. Системы с быстрой фазой. Редукция квазилинейного уравнения колебаний к системе с быстрой фазой. Алгоритм построения асимптотического решения. Определение коэффициентов. Результаты теорем о первом и втором приближениях для системы с быстрой фазой. Стационарные амплитуды и автоколебательные режимы.
3. Системы с несколькими быстрыми фазами. Резонанс. Редукция квазилинейного уравнения колебаний с периодическим внешним воздействием к системе с двумя быстрыми фазами. Нерезонансный случай. Понятие резонанса. Поведение средних вблизи резонанса. Малые знаменатели. Фазовая расстройка. Стационарные резонансные режимы и их устойчивость.

Литература:

1. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.
2. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд-во МГУ, 1971.
3. Журавлев В.Ф. Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988.