Приложения спектральной теории операторов в математической физике
Спектральная теория операторов является математической основой для изучения задач атомной физики, акустики и электродинамики. Знание методов качественного анализа спектральных задач для дифференциальных уравнений необходимо как при аналитических, так и численных исследованиях.
В лекционном курсе изучаются основные факты спектральной теории операторов и их приложения к исследованию спектра оператора Шредингера и оператора Лапласа в областях с некомпактной границей. Студенты знакомятся с техникой применения соболевских пространств, теорем вложения, минимаксных оценок и теории неограниченных операторов к исследованию дискретного и непрерывного спектра.
Лекторы
Отчётность
экзамен
Содержание курса
- Основные положения спектральной теории операторов с компактной резольвентой. Некоторые вопросы теории несамосопряженных операторов.
- Некоторые теоремы вложения для соболевских пространств. Метод слабых решений и его применение в спектральной теории эллиптических операторов.
- Принцип минимакса для самосопряженных компактных операторов и его приложения.
- Вариационное описание собственных значений эллиптических операторов. Теоремы Вейля.
- Асимптотика спектра самосопряженных эллиптических операторов.
- Дискретный спектр оператора Лапласа в полуограниченных областях.
- Спектр оператора Лапласа в областях с некомпактной границей.
- Спектральная теорема для ограниченных самосопряженных операторов.
- Спектральная теорема для неограниченных самосопряженных операторов.
- Расширения симметрических полуограниченных операторов. Метод Фридрихса.
- Расширения симметрических операторов. Индексы дефекта. Метод Фон Неймана.
- Основные положения теории возмущений самосопряженных операторов. Теорема Вейля.
- Принцип минимакса для неограниченных самосопряженных операторов. Дискретный спектр оператора Шредингера с финитным потенциалом.
- Принцип Бирмана-Швингера. Собственные значения оператора Шредингера и оператора Лапласа в областях с некомпактной границей, погруженные в непрерывный спектр.
- Разложение по обобщенным сосбственным функциям самосопряженного оператора.
Дополнительная литература
- И.М. Глазман. Прямые методы качественного анализа сингулярных дифференциальных операторов 2-го прорядка. М.: Физ.-мат. лит., 1963.
- Ф.А. Березин, М. Шубин. Уравнение Шредингера. М.: Изд-во МГУ, 1983.
- Ф. Рисс, Б.З. Секефальви-Надь. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1955.
- F. Rellich. Das Eigenwertproblem von in Halbrohren. // Studies and essays presented to R. Courant. 1948. P. 329.
- D.S. Jones. The eigenvalues of $
abla^2 u + lambda u = 0 $ when the boundary conditions are on semi-infinite domains. // Proc. Camb. Soc. 1953. V. 49. P. 668.
- D.V. Evans, M. Levitin, D. Vassiliev. Existence theorems for trapped modes // J. Fluid Mech. 1994. V. 261. P. 21.