Кафедра математики
физического факультета МГУ
Один из возможных альтернативных подходов к решению нелинейных обратных задач, основанный на предварительном построении множества опорных решений прямых (а значит и обратных) задач, в общем виде был сформулирован в работе [Тихонов и др., 1983]. Простейшая реализации этой идеи издавна применялась геофизиками при интерпретации измеренных данных на основе альбома палеток. В работах [Poulton et al., 1989; Raiche, 1991; Спичак, Попова, 1998; Shimelevich, Obornev, 1998] и ряде других работ была сформулирована концепция нейросетевого (НС) подхода к инверсии геофизических данных, в котором конструируемая нейросеть (типа персептрон) предварительно обучается «с учителем» на заранее рассчитанном множестве опорных решений. В этих и других ранних работах НС метод представлялся с позиции теории распознавания образов (как «черный ящик»), что в некоторых частных случаях является вполне оправданным. В общем случае, как было показано в работе [Шимелевич, Оборнев, 1999], НС метод, применительно к проблеме решения обратных задач, имеет прозрачный математический смысл, который заключается том, что на заданном множестве опорных решений в заданном классе сред с помощью нейросетевой аппроксимационно-интерполяционной конструкции строится приближенный непрерывный обратный оператор задачи (так называемый НС аппроксиматор). В ранних работах использовалась простейшая трехслойная нейросеть (типа персептрон), и применялись классические алгоритмы ее обучения. С помощью таких сетей можно было получать решения малопараметрических обратных задач геоэлектрики с небольшим числом искомых параметров N~ 10-15. Использование многослойных полносвязных (MLP-сетей) с числом слоев более 3, и адаптация общих методов их обучения к особенностям решаемой обратной задачи, позволило развить НС метод для случаев 2D и 3D сред, геоэлектрические свойства которых определяются числом параметров N ~ n·102. Адаптация методов обучения к физическим свойствам задачи заключается в учете быстрого (экспоненциального) затухания с глубиной используемого в геоэлектрике квазистационарного ЭМ поля (скин-эффект в проводящей Земле). Это позволяет использовать принцип декомпозиции по области исследований: сложная задача разбивается на несколько более простых задач по подобластям, которые решаются независимо (параллельно), а затем их решения синтезируются в решение исходной задачи. Реализация данного принципа на практике кардинально меняет архитектуру сети: строится набор локальных аппроксиматоров специального типа, которые устанавливают количественные связи между i-ми наборами (окнами) параметров среды на различных глубинах, и соответствующими им наборами наиболее значимых входных данных, выбираемых с учетом поглощения ЭМ поля в среде. Локальные НС аппроксиматоры обучаются независимо друг от друга, что существенно упрощает задачу за счет понижения размерности, выявления наиболее физически значимых зависимостей, а также ее распараллеливания; полное решение обратной задачи формируется путем композиции локальных решений [Шимелевич, Оборнев, 2009, Dolenko et al, 2009]. Принципы декомпозиции и локальной инверсии существенно повышают точность аппроксимации обратного оператора и эффективность НС метода в целом. Для обучения локальных аппроксиматоров используется аппарат сверточных сетей. Это позволяет обрабатывать пространственно-частотные массивы большой размерности и решать нелинейные обратные задачи с общим числом искомых параметров N ~ n103 и более [Шимелевич и др., 2017-2020; 2025]. Замечание. Нейросети рассмотренного типа, в архитектуре которых изначально учитываются особенности физики, решаемой задачам, позднее получили название физически информированных нейронных сетей – ФИНС (PINN- physics-informed neural network) [Raissi, 2019; Зрелова, 2022]. Классический нейросетевой метод не минимизирует невязку решения для фиксированных входных данных и в некоторых случаях она может оказаться достаточно большой. Современный НС метод включает алгоритмы уменьшения невязки, которые могут входить в процесс обучения или применяться после нахождения НС решения [Шимелевич и др., 2013; 2018; Шимелевич, 2020]; кроме того в нем предусмотрена адаптивная регуляризация задачи в классе кусочно-постоянных решений на основе оптимальной сеточной параметризации, учитывающей скорость поглощения ЭМ поля и разрешающую способность геофизического метода, убывающую с глубиной. Количественным критерием оптимальности сетки параметризации является задаваемое ограничение на локальный модуль непрерывности обратного оператора, определяемый по ярусам сетки [Шимелевич, 2020]; для найденных НС решений вычисляются оценки неоднозначности приближенных решений при достигнутой финальной невязке [Шимелевич, 2020]. Обзор по применению физически информированных нейронных сетей в обратных задачах геоэлектрики приведен в работе [Шимелевич и др., 2025б]. Приводится пример работы авторской ФИНС при решении обратной 3D задачи геоэлектрики.
